Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
()
= 0
Таким
образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.
Пусть заданы точки
М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2)
и вектор.
Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М 1
и М 2
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору .
Векторы
и
вектор
должны быть
компланарны, т.е.
()
= 0
Уравнение
плоскости:
Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,
коллинеарным плоскости.
Пусть заданы два
вектора
и
,
коллинеарные плоскости. Тогда для
произвольной точки М(х, у,z),
принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .
Теорема.
Если в пространстве задана точка М
0
(х
0
,
у
0
,
z
0
),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М
0
перпендикулярно вектору нормали
(A
,
B
,
C
)
имеет вид:
A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.
Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор
- вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда скалярное произведение
=
0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Уравнение плоскости в отрезках.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
,
заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Уравнение плоскости в векторной форме.
где
-
радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние
от произвольной точки М 0 (х 0 ,
у 0 ,
z 0)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и
Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.
Получаем:
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то
Таким образом, вектор нормали
(11,
-7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112 + 71
- 24 +D= 0;D= -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:
16 + 9 + 144 + D = 0
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Найти длину ребра А 1 А 2 .
Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .
Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .
Сначала
найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3
как векторное произведение векторов
и
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.
-4
– 4 = -8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 90 0 - .
Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .
Найти объем пирамиды.
Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z – 4 = 0;
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.
Для запуска программы дважды щелкните на значке:
В
открывшемся окне программы введите
координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter.
Таким образом, поочередно могут быть
получены все пункты решения.
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Пусть нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Обозначая их радиусы-векторы через а текущий радиус-вектор через , мы легко получим искомое уравнение в векторной форме. В самом деле, векторы , должны быть компланарны (они все лежат в искомой плоскости). Следовательно, векторно-скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , в векторной форме.
Переходя к координатам, получим уравнение в координатах:
Если бы три данные точки лежали на одной прямой, то векторы были бы коллинеарны. Поэтому соответствующие элементы двух последних строк определителя, стоящего в уравнении (18), были бы пропорциональны и определитель тождественно равен нулю. Следовательно, уравнение (18) обращалось бы в тождество при любых значениях х, у и z. Геометрически это значит, что через каждую точку пространства проходит плоскость, в которой лежат и три данные точки.
Замечание 1. Эту же задачу можно решить, не пользуясь векторами.
Обозначая координаты трех данных точек соответственно чрез напишем уравнение любой плоскости, проходящей через первую точку:
Чтобы получить уравнение искомой плоскости, нужно потребовать, чтобы уравнение (17) удовлетворялось координатами двух других точек:
Из уравнений (19) нужно определить отношения двух коэффициентов к третьему и внести найденные значения в уравнение (17).
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .
Уравнение плоскости, проходящей через первую из данных точек, будет:
Условия прохождения плоскости (17) через две другие точки и первую точку суть:
Складывая второе уравнение с первым, найдем:
Подставляя во второе уравнение, получим:
Подставляя в уравнение (17) вместо А, В, С соответственно 1, 5, -4 (числа, им пропорциональные), получим:
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).
Уравнение любой плоскости, проходящей через точку (0, 0, 0), будет]
Условия прохождения этой плоскости, через точки (1, 1, 1) и (2, 2, 2) суть:
Сокращая второе уравнение на 2, видим, что для определения двух неизвестных отношении имеет одно уравнение с
Отсюда получим . Подставляя теперь в уравнение плоскости вместо его значение, найдем:
Это и есть уравнение искомой плоскости; оно зависит от произвольных
количеств В, С (а именно, от отношения т. е. имеется бесчисленное множество плоскостей, проходящих через три данные точки (три данные точки лежат на одной прямой линии).
Замечание 2. Задача о проведении плоскости через три данные точки, не лежащие на одной прямой, легко решается в общем виде, если воспользоваться определителями. Действительно, так как в уравнениях (17) и (19) коэффициенты А, В, С не могут быть одновременно равны нулю, то, рассматривая эти уравнения как однородную систему с тремя неизвестными А, В, С, пишем необходимое и достаточное условие существования решения этой системы, отличного от нулевого (ч. 1, гл. VI, § 6):
Разложив этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение первой степени относительно текущих координат , которому будут удовлетворять, в частности, координаты трех данных точек.
В этом последнем можно также убедиться и непосредственно, если подставить в уравнение, записанное с помощью определителя, координаты любой из данных точек вместо . В левой части получается определитель, у которого либо элементы первой строки нули, либо имеются две одинаковые строки. Таким образом, составленное уравнение представляет плоскость, проходящую через три данные точки.
Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой
Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .
Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 - 11 классов, которая гласит:
Определение 1
Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.
Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.
Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.
Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.
Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .
Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
или параметрическими уравнениями вида:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ
то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) и М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).
Определение 2
Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:
Определяем координаты направляющего вектора прямой a: a → = (а x , а y , а z) ;
Определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:
n → = (A , B , C) , где A = a x , B = a y , C = a z ;
Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и имеющей нормальный вектор n → = (A , B , C) в виде A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.
Полученное общее уравнение плоскости: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.
Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.
Пример 1
Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .
Решение
направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0 , 0 , 1) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 (3 , - 4 , 5) , нормальный вектор которой имеет координаты (0 , 0 , 1) :
A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0
Ответ: z – 5 = 0 .
Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:
Пример 2
Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением - D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = - 5 .
Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 (3 , - 4 , 5) .
Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .
Ответ: z – 5 = 0 .
Пример 3
Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2
Решение
Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0 , 0 , 0) и имеющей нормальный вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :
3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0
Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.
Ответ: - 3 x - 7 y + 2 z = 0
Пример 4
Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.
Решение
Плоскость α перпендикулярна к прямой А В, тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В (3 , - 2 , 4) и А (2 , - 1 , - 2) :
A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)
Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:
1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0
Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:
x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
Ответ: x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1
Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.
Пример 5
Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Решение
Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → (3 , 2 , 0) плоскости n → (1 , 0 , 2) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z - 1 = 0 .
Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)
Таким образом, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:
4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0
Ответ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
Определение 2.1.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a || b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.
Определение 2.2.
Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися.
Теорема 2.1.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Признак параллельности прямых |
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну. Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости. Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с. Случай, когда прямые а, b и слежат и одной плоскости, рассмотрен в планиметрии, его опускаем. Предположим, что а, b и с не лежит в одной плоскости. Но так как две параллельные прямые расположены в одной плоскости, то можно считать, что а и b расположены и плоскости , a b и с -- в плоскости (рис. 61). На прямой с отметим точку (любую) М и через прямую b и точку M проведем плоскость . Она, , пересекает по прямой l. Прямая l не пересекает плоскость , так как если l пересекала бы , то точка их пересечения должна лежать на а (а и l - в одной плоскости) и на b (b и l - в одной плоскости). Таким образом, одна точка пересечения l и должна лежать и на прямой а, и на прямой b, что невозможно: а || b. Следовательно, а || , l || а, l || b. Поскольку a и l лежат в одной плоскости, то l совпадает с прямой с (по аксиоме параллельности), а значит, с || b. Теорема доказана. |
25.Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство
Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.
27.Существование плоскости, параллельной данной плоскости
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство
Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две пересекающиеся прямые a и b. Через данную точку A проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме о признаке параллельности плоскостей параллельна плоскости α.
Предположим, что через точку A проходит другая плоскость β1, тоже параллельная плоскости α. Отметим на плоскости β1 какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости β. Проведем плоскость γ через точки A, С и какую-нибудь точку B плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскости α, β и β1 по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой b. Но в плоскости γ через точку A может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. что противоречит предположению. Теорема доказана.
28.Свойства параллельных плоскосте й
29.
Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. c. m. k. k. m. c. k. Пересекающиеся. Скрещивающиеся.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. | |
Доказательство:Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точкуА пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости . Проведем произвольную прямую х через точкуА в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА 1 и АА 2 . Треугольник А 1 СА 2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА 1 =АА 2).по той же причине треугольник А 1 ВА 2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А 1 ВС и А 2 ВС равны по трем сторонам. Из равенства треугольников А 1 ВС и А 2 ВС следует равенство углов А 1 ВХ и А 2 ВХ и, следовательно равенство треугольников А 1 ВХ и А 2 ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А 1 Х и А 2 Х этих треугольников заключаем, что треугольник А 1 ХА 2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямаяа перпендикулярна плоскости . Теорема доказана. |
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. | ![]() |
Доказательство: Пусть а 1 и а 2 - 2 параллельные прямые и плоскость, перпендикулярная прямой а 1 . Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а 2 . Проведем через точку А 2 пересечения прямой а 2 с плоскостью произвольную прямую х 2 в плоскости . Проведем в плоскости через точку А 1 пересечения прямой а 1 с прямую х 1 , параллельную прямой х 2 . Так как прямая а 1 перпендикулярна плоскости , то прямые а 1 и x 1 перпендикулярны. А по теореме 1 параллельные им пересекающиеся прямые а 2 и х 2 тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а 2 перпендикулярна любой прямой х 2 в плоскости . А это (по определению)значит, что прямая а 2 перпендикулярна плоскости . Теорема доказана. Смотри также опорную задачу №2. | |
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. | ![]() |
Доказательство: Пусть а и b - 2 прямые, перпендикулярные плоскости . Допутим, что прямые а и b не параллельны. Выберем на прямой b точкуС, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую b 1 , параллельную прямой а. Прямая b 1 перпендикулярна плоскости по теореме 2. Пусть В и В 1 - точки пересечения прямых b и b 1 с плоскостью . Тогда прямая ВВ 1 перпендикулярна пересекающимся прямым b и b 1 . А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. |
33.Перпендикуляром
, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра
.
Наклонной
, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной
. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной
.
AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
Формулировка теоремы
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.
Доказательство
Пусть AB - перпендикуляр к плоскости α, AC - наклонная и c - прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC . Проведем прямую CK параллельно прямой AB . Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c . Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC .