Как сказано выше, обычно выделяют внешние и внутренние симметрии. Внутренние симметрии – это геометрические и калибровочные симметрии самой материи, отражающие инвариантность (независимость) свойств элементарных частиц и их взаимодействий относительно определенных преобразований. Большинство из них ярко проявляются лишь в микромире, присутствуя на макро- и мегауровне в скрытом виде. Внешние симметрии – это симметрии пространственно-временного континуума, одинаково ярко проявляющиеся на всех уровнях организации материи.
Выделяют следующие симметрии пространства-времени :
1. Однородность пространства . Это – сдвиговая симметрия пространства. Она заключается в эквивалентности, равенстве всех точек пространства, то естьотсутствии в пространстве каких-либо выделенных точек . Параллельный перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то есть физические законы инвариантны относительно сдвигов в пространстве .
2. Изотропность пространства . Это – поворотная симметрия пространства. Она заключается в равенстве всех направлений в пространстве, то есть вотсутствии в пространстве выделенных направлений . Поворот системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы инвариантны относительно поворотов в пространстве.
3. Однородность времени . Сдвиговая симметрия времени отражает равенство всех точек времени, то естьотсутствие выделенных точек начала отсчета времени . Перенос системы как целого во времени не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы не меняются с течением времени .
Что касается изотропности времени , то вопрос о наличии этой симметрии долгое время оставался открытым и во многом остается дискуссионным до сих пор. Так, в классической механике время симметрично: идеальные механические процессы полностью обратимы, и “поворот во времени” не приводит к изменению законов механики. В ОТО, где время, наряду с пространством, рассматривается как одна из геометрических координат, также постулируется эквивалентность его прямого и обратного течения. Подавляющее большинство элементарных процессов, протекающих в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий, также симметричны по отношению к этому преобразованию (за исключением распадов K0L-мeзонов). Но в то же время, развитие термодинамики (см. тему 2.5) показало, что в макроскопических процессах, связанных с превращением энергии, происходит ее необратимое рассеивание. Таким образом, все реальные процессы, происходящие на уровнемакро- и мегаскопических материальных систем не инвариантны по отношению к направлению времени. Его изменение на противоположное привело бы к изменению законов термодинамики: необратимое рассеивание энергии сменилось бы ее самопроизвольной концентрацией. Следовательно, для этих процессов времяанизотропно , не обладает симметрией поворота.
Связь законов сохранения с симметрией (теорема Нетер)
Развитие математических методов описания симметрии, в частности аналитической механики Лагранжа и Гамильтона, показало, что как законы классической механики Ньютона, так и уравнения электродинамики Максвелла могут быть выведены математическим путем из соображений симметрии. Методы аналитической механики можно распространить и на квантовую механику, где классические теории теряют свою применимость.
Важнейший результат в этой области теоретической физики связан с именем выдающейся женщины-математика Амалии (Эмми) Нетер (1882–1935). В 1918 г. Нетер была доказана теорема, позднее названная ее именем, из которой следует, что если некоторая система инвариантна (неизменна) относительно некоторого преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина . Иными словами, существование любой конкретной симметрии приводит к соответствующему закону сохранения .
Эта теорема справедлива для любых симметрий – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей, – то есть она носит универсальный характер . Теорема Нетер стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившим особуюмеждисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории .
Непрерывные симметрии приводят к существованию законов сохранения, проявляющихся на всех уровнях организации материи. Так, согласно теореме Нетер, из однородности (сдвиговой симметрии) пространства следуетзакон сохранения импульса (количества движения), из изотропности (поворотной симметрии) пространства –закон сохранения момента импульса (момента количества движения), из однородности времени следуетзакон сохранения энергии . Из калибровочной симметрии динамики заряженных частиц в электромагнитных полях следуетзакон сохранения электрического заряда.
Что касается дискретных симметрий, то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив принцип суперпозиции, из существования дискретных симметрий также следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Так, зеркальная симметрия, или пространственная инверсия (Р ), приводит к закону сохранения пространственной четности; симметрия замены всех частиц на античастицы, или зарядовое сопряжение (С ) – к закону сохранения зарядовой четности и т. д.
Теорема Нетер дает наиболее простой и универсальный метод получения законов сохранения. Особенно важное значение имеет теорема Нетер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, являются часто основным источником информации о свойствах изучаемых объектов.
Амалия (Эмми) Нётер, королева без короны
По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.
Альберт Эйнштейн
Эйнштейн был прав, и Эмми Нётер (1882–1935) , с которой ему так и не довелось вместе поработать в Институте перспективных исследований в Принстоне (хотя она этого заслуживала как никто), была удивительным математиком - возможно, величайшей женщиной-математиком всех времен. И Эйнштейн не единственный придерживался такой точки зрения: Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая тоже была превосходным математиком.
Также Эмми Нётер стала объектом ряда дурных шуток - вспомним хотя бы бессмертную фразу невоздержанного на язык Эдмунда Ландау: «Я могу поверить в ее математический гений, но не могу поклясться, что это женщина». Эмми в самом деле отличалась мужеподобной внешностью, а кроме этого, совершенно не задумывалась о том, как она выглядит, особенно во время занятий или научных дебатов.
По воспоминаниям очевидцев, она забывала уложить волосы, почистить платье, тщательно пережевывать пищу и отличалась многими другими чертами, которые делали ее не слишком женственной в глазах благопристойных соотечественников-немцев. Также Эмми страдала сильной близорукостью, из-за чего носила некрасивые очки с толстыми стеклами и была похожа на сову. Сюда же следует добавить и привычку носить (из соображений удобства) мужскую шляпу и набитый бумагами кожаный чемодан, как у страхового агента. Сам Герман Вейль, ученик Эмми и почитатель ее математического таланта, достаточно взвешенно выразил общее мнение о наставнице словами: «Грации не стояли у ее колыбели».
Портрет Эмми Нётер в юности.
Превращение в прекрасного лебедя
Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приемов и церемоний. Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей грязной работой занимался Железный Канцлер Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин (всеобщее образование считалось признаком ненавистного социализма). Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория. Ее жизненным кредо были четыре К: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), K"uche (кухня) - дополненная версия трех К из народной трилогии «Kinder, Kirche, K"uche ». В такой среде женщинам отводилась четко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью - для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра - более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.
Эмми родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимал необычное место в истории математики - он был малой родиной создателя так называемой синтетической геометрии Христиана фон Штаудта (1798–1867) , кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849–1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.
Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Фриц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утенка из сказки Андерсена - никто не мог и предположить, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмми ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает ее от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм - в то время это обстоятельство было неважным, но сказалось на ее дальнейшей судьбе. За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения ее сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского, и ей пророчили карьеру преподавателя языков. Ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.
Фасад Kollegienhaus - одного из старейших корпусов Эрлангенского университета.
Бесконечная гонка
Эмми имела все необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учеба в университете не станет невыносимой. Чтобы продолжить обучение, Эмми пришлось стать слушательницей - посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837–1912) , которого современники называли королем теории инвариантов; он был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетения расчетов, порой казавшихся бесконечными. Объяснить, что такое алгебраический инвариант и форма, не слишком сложно, но эти понятия не представляют интереса для современной алгебры, поэтому не будем останавливаться на них подробнее.
В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведен 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найденный Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми позднее в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной - доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.
Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь долгих лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца - его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, и его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил ее с трудами Гильберта.
К счастью, проницательность Нётер, ее ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета мира». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862–1943) . Шел 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участия в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать к ним в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна (к разговору об инвариантах мы вернемся чуть позже).
Все это было бы смешно, если бы не было так грустно - даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление ученого совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать заявления в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернутся на родину, и в аудиториях им придется сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?». Гильберт, присутствовавший при подобном разговоре, возмущенно возразил: «Не понимаю, как пол кандидата мешает избрать ее приват-доцентом. Ведь здесь университет, а не мужская баня!»
Но Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Ученый совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать, Эмми смогла занять должность профессора (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать деньги за свой труд. Эмми раздражало, что ее работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.
В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли ее именно так, хотя Эмми доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы объяснить ее понятным для читателя языком, пусть даже в упрощенном виде, мы не сможем обойтись без высшей математики и физики.
Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит: «Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют свои значения с течением времени».
Понятие непрерывной симметрии в высшей физике объясняется с помощью групп Ли. Не будем углубляться в детали и скажем, что в физике под симметрией понимается любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системе инвариантны. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать координаты системы, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.
Откуда же взялся термин «симметрия»? Он принадлежит к чисто физическому языку и применяется потому, что по смыслу схож с термином «симметрия» в математике. Представьте себе повороты пространства, образующие группу симметрии. Если мы применим один из таких поворотов к системе координат, то получим другую систему координат. Изменение координат будет описываться непрерывными уравнениями. Согласно теореме Нётер, если система инвариантна относительно подобной непрерывной симметрии (в данном случае - поворота), то в ней автоматически существует закон сохранения той или иной физической величины. В нашем случае, проведя необходимые вычисления, можно убедиться, что этой величиной будет момент импульса.
Не будем останавливаться на этой теме и приведем некоторые разновидности симметрии, группы симметрии и соответствующие физические величины, которые будут сохраняться.
Эта теорема вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:
«Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы ее послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает свое ремесло ».
Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят ее в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.
Перенесемся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902–1994) , и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую некое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом можно определить, верна наша теория или нет.
ТЕОРЕМА НЁТЕР
Физическая система в механике определяется с помощью достаточно сложных терминов, в том числе такого понятия, как действие, которое можно рассматривать как произведение выделенной энергии на время, затраченное на ее поглощение. Поведение физической системы на языке математики описывается ее лагранжианом L , который представляет собой функционал (функцию от функций) вида
где q - положение, q - скорость (точка вверху в нотации Ньютона обозначает производную от q ), t - время. Обратите внимание, что q - положение в системе координат общего вида, которая необязательно является декартовой.
Действие А на языке математики выражается интегралом вдоль пути, выбранного системой:
Общие свойства пространства и времени:
1. Пространство и время объективны и реальны, т.е. не зависят от сознания и воли людей.
2. Пространство и время являются универсальными, всеобщими формами бытия материи. Нет явлений, событий предметов, которые бы существовали вне пространства или вне времени.
Основные свойства пространства :
1. Однородность – все точки пространства обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных точек пространства, параллельный перенос не изменяет вид законов природы.
2. Изотропность – все направления в пространстве обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных направлений, и поворот на любой угол сохраняет неизменными законы природы.
3. Непрерывность – между двумя различными точками в пространстве, как близко бы они не находились, всегда есть третья.
4. Евклидовость описывается геометрией Евклида. Признаком евклидовости пространства является возможность построения в нём Декартовых прямоугольных координат. Но согласно ОТО Эйнштейна, при наличии в пространстве тяготеющих масс пространство искривляется, становится неевклидовым.
5. Трехмерность – каждая точка пространства однозначно определяется набором трёх действительных чисел координат. Это положение вытекает из связи структуры пространства с законом тяготения. (П. Эренфест в 1917 г. исследовал вопрос, почему мы способны воспринять только пространство трёх измерений. Он доказал, что «закон обратных квадратов», по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы или электрические заряды, обусловлен трёхмерностью пространства. В пространстве n измерений точечные частицы взаимодействовали бы по закону обратной степени (n–1). Поэтому для n=3 справедлив закон обратных квадратов, т.к. 3–1=2. Он показал, что соответствуя закону обратных кубов, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В атомах при числе измерений, большем трёх, также не существовало бы устойчивых орбит, т.е. не было бы химических процессов в жизни.
Основные свойства времени :
1. Однородность - любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково, по одним и тем же законам.
2. Непрерывность – это когда между двумя моментами времени, как бы близко они ни располагались, всегда можно выделить третий.
3. Однонаправленность или необратимость – это свойство времени, которое можно рассматривать как следствие второго начала термодинамики или закона возрастания энтропии. Все изменения в мире происходят от прошлого к будущему.
Указанные свойства пространства и времени связаны с главными законами физики – законами сохранения. Если свойства системы не меняются от преобразования переменных, то ей соответствует определённый закон сохранения. Это одно из существенных выражений симметрии в мире. Согласно Э. Нётер теореме, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией.
Из симметрии физических законов относительно:
1) сдвига замкнутой системы в пространстве (однородность пространства) следует закон сохранения импульса;
2) поворота замкнутой системы в пространстве (изотропность пространства) следует закон сохранения момента импульса;
3) изменения начала отсчёта времени (однородность времени) следует закон сохранения энергии.
Вопросы для повторения и самоконтроля
1. Каковы были представления о пространстве и времени в доньютоновский период?
2. Как трактовал И. Ньютон пространство и время?
3. Какие представления о пространстве и времени стали определяющими в теории относительности А. Эйнштейна?
4. Какие основные свойства пространства вам известны?
5. Какие основные свойства времени вам известны?
6. Сформулируйте теорему Э. Нетер?
В этом параграфе вариационный подход к задаче механики и, в частности, полученная в § 4 общая формула для вариации функционала будут использованы для того, чтобы установить связь между законами сохранения, которые были получены в предыдущих главах, и общими свойствами пространства и времени, которые находят свое выражение в инвариантности законов механики относительно преобразований систем отсчета. Установление этой связи позволит понять внутреннюю природу законов сохранения и причины, по которым эти законы существуют. Такое понимание особенно важно, ибо оно иногда позволяет предвидеть первые интегралы и тем самым облегчить исследование уравнений, описывающих движение.
Приступая к подготовке материала, который требуется для того, чтобы сформулировать теорему Эммы Нётер, устанавливающую эту связь, рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство преобразований системы отсчета, т. е. координат и времени:
где индекс приписан «новым» координатам и «новому» времени, а - некоторый параметр. Предположим, что преобразование (66) удовлетворяет двум следующим условиям:
1° Это преобразование тождественно при , т. е.
2° Для этого преобразования существует обратное:
Теперь мы можем сформулировать теорему Эммы Нётер. Теорема Нётер. Пусть задана система движущихся в потенциальном поле материальных точек, имеющая лагранжиан , и пусть существует однопараметрическое семейство преобразований (66), удовлетворяющее условиям 1° и 2°. Пусть, далее, лагранжиан L инвариантен по отношению к таким преобразованиям, т. е. «новый» лагранжиан (вычисленный по формуле ) не зависит от и как функция имеет совершенно такой же вид, как и «старый» лагранжиан L как функция . Тогда существует функция , которая не изменяется во время движения этой системы, т. е. является первым интегралом движения. Эта функция имеет вид
где H - гамильтониан рассматриваемой системы.
Доказательство. Рассмотрим два расширенных координатных пространства; одно из них соответствует «старым», а другое «новым» координатам и времени, получепным в результате преобразования (66). В первом из этих пространств (в пространстве q, t) выберем две произвольные точки и проведем между этими точками какую-либо кривую . Тогда однопараметрическое семейство преобразований (66) порождает во втором расширенном координатном пространстве , однопараметрическое семейство кривых (рис. VII.5). Оно получается, если из равенств (66)
исключить .
В силу первого условия, т. е. в силу формул (67), параметру соответствует исходная кривая, т. е. при
Началу и концу кривой , т. е. точкам из пространства , соответствуют в пространстве кривые, заданные параметрически (параметр ) формулами
Эти формулы получаются из формул (70), если вместо t подставить соответственно.
Примем в качестве кривой отрезок от до прямого пути системы с лагранжианом L. Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пути:
Заменив в интеграле (72) переменную t на , получим (см. стр. 281)
где функция строится по формуле (64). С учетом новых обозначений (см. условие ):
В силу условий теоремы Э. Нётер не зависит от и как функция своих аргументов совпадает с L:
Таким образом, если выполнены условия теоремы Нётер, то интеграл (72) можно записать следующим образом:
Рассмотрим теперь интеграл (74) как функционал, заданный на однопараметрическом семействе кривых . В равенстве (74) левая часть не зависит от а. Это очевидно, так как при замене переменной интегрирования значение определенного интеграла не меняется. Поэтому в рассматриваемом случае интеграл (74) имеет одно и то же значение на всех кривых из семейства и, следовательно, при всех
Интеграл (74) имеет вид действия по Гамильтону, заданного на однопараметрическом семействе кривых, и поэтому можно воспользоваться общей формулой (60) для вариации действия . В силу (60) имеем
(75)
Равенство (75) верно при любом , но мы воспользуемся им лишь при . В силу условия 1° при равенства (66) превращаются в тождества, т. е. зависит от точно так же, как зависит от t. Но - прямой путь и на нем
Следовательно, при обращаются в нуль и все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формулах (75).
Напомним, что сначала надо подставить пределы , а затем выполнить операции , т. е. дифференцирования по параметру. Но при
и в соответствии с формулами преобразования (66)
Учитывая при подстановке пределов эти равенства и тот факт, что , после сокращения на независимое приращение из равенства (76) получаем
где верхний индекс указывает, берется ли соответствующая функция при или
Вспомним, что прямой путь и точки и на нем были выбраны произвольно. Отсюда следует, что функция (69) вообще не меняется вдоль кривой , т. е. на любом прямом пути.
Теорема Эммы Нётер доказана.
Покажем теперь, как, используя только теорему Нётер, можно получить все законы сохранения (первые интегралы), которые были установлены выше из иных соображений.
Закон сохранения механической энергии для консервативной системы. Рассмотрим консервативную (или обобщенно консервативную) систему. В качестве семейства преобразований (66) возьмем «сдвиг по времени»:
Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а , т. е. функция в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана , разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции в силу преобразования (78) тождественно равны , т. е. не зависят от , и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а и формула (69) принимает вид
Таким образом, из теоремы Нётер следует, что при движении обобщенно консервативной системы ее обобщенная энергия H не меняется. При движении же консервативной системы и не меняется ее полная механическая энергия.
Закон сохранения импульса для циклических координат. Рассмотрим теперь систему с циклической координатой
Непосредственно видно, что это преобразование удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (а значит, и гамильтониан) системы не зависит от циклических координат, и следовательно, вид этих функций не меняется при преобразовании (79). Следовательно, в силу теоремы Нётер имеет место первый интеграл вида (69). Но при преобразовании , остальные . Следовательно, в данном случае формула (69) принимает вид
Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана.
Закон сохранения количества движения для замкнутых систем. Рассмотрим теперь замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле. В качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и применим «сдвиг вдоль одной из осей координат», например вдоль оси :
(здесь N - число точек системы).
В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все для координат , так же как и , равны нулю, а функции для координат таковы, что .
Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части сумма равна
но и поэтому первый интеграл (69) имеет вид
(81)
Равенство (81) есть не что иное, как закон сохранения количества движения в проекции на ось .
Совершенно аналогично, используя преобразования типа (80) для сдвига не вдоль оси x, а вдоль осей у и z, устанавливаем сохранение проекций количества движения на оси у и z соответственно. Таким образом, закон сохранения количества движения при движении замкнутой системы в потенциальном поле полностью доказан.
Закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы. Вновь рассмотрим замкнутую систему, движущуюся в потенциальном поле, которое получается в результате взаимодействия точек системы. Как и ранее, в качестве обобщенных координат примем декартовы координаты точек и рассмотрим преобразование поворота системы координат вокруг, например, оси z:
Непосредственно видно, что преобразование (82) удовлетворяет условию 1°, т. е. при превращается в тождественное преобразование. Легко проверить, что оно удовлетворяет и условию 2°, т. е. что система уравнений (82) разрешима относительно «старых» координат, ибо определитель этой системы равен . При повороте системы координат взаимное расположение и расстояние между точками системы не меняются, и следовательно, не меняется потенциальное поле, а значит, не меняется и L. Таким образом, в силу теоремы Нётер и в этом случае имеет место первый интеграл (69). В случае преобразования (82) для координат всех точек системы имеет место соотношение
Аналогично для всех координат
С другой стороны, и поэтому в данном случае
т. е. проекция кинетического момента на ось z сохраняется.
Совершенно аналогично, рассматривая поворот системы координат вокруг осей x и y, устанавливаем сохранение во время движения проекций кинетического момента на оси x и у соответственно, т. е. полностью доказываем закон сохранения кинетического момента для замкнутой системы, движущейся в потенциальном поле.
Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения - результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента - результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат.
Теорема Нётер может быть использована и в тех частных случаях, когда удается найти иные преобразования, сохраняющие лагранжиан.
